2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学·全国人教Y卷

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1．在△ABC中，∠B=45°，D是边BC上一点，AD=5，CD=3，AC=7．
（1）求∠ADC的值；
（2）求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}$的值．试题答案

分析 （1）由余弦定理结合已知可求cos∠ADC的值，结合范围，利用特殊角的三角函数值即可求解∠ADC的值．
（2）由正弦定理可求AB，利用平面向量数量积的运算可求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}$的值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=AC²．
把AD=5，CD=3，AC=7代入上式得$cos∠ADC=-\frac{1}{2}$．
因为0＜∠ADC＜π，所以∠ADC=$\frac{2π}{3}$．…（7分）
（2）在△ADC中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$．
故$AB=\frac{AD}{sin∠ABD}×sin∠ADB=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}$．
所以$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}×5×cos{75°}=\frac{{25（3-\sqrt{3}）}}{4}$…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算，特殊角的三角函数值的应用，考查了计算能力，属于中档题．