2023届高三全国100所名校单元测试示范卷·理科数学Y卷(十三)13答案

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12．向量$\overrightarrow{a}$=（3，-2），$\overrightarrow{b}$=（-x，y-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，若x，y为正数，则$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$的最小值是（　　）

试题答案

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，化为3x+2y=2，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-3x-2（y-1）=0，
∴3x+2y=2，
又x，y为正数，
则$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{2}（3x+2y）$$（\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}）$=$5+\frac{2y}{3x}+\frac{6x}{y}$≥9．当且仅当$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=9{x^2}}\\{3x+2y=2}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{9}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}}\right.$时等号成立，
∴$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$的最小值是9．
故选：C．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．