2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷二

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13．（1）求函数$f（x）=\frac{{\sqrt{5-x}}}{{{{log}_2}x-2}}$的定义域；
（2）求函数$f（x）={log_a}（-{x^2}+2x+3）$（a＞0，且a≠1）的值域．试题答案

分析（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x＞0\\{log_2}x≠2\end{array}\right.$，从而求函数$f（x）=\frac{{\sqrt{5-x}}}{{{{log}_2}x-2}}$的定义域；
（2）由配方法可得-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，再讨论a以确定对数函数的单调性，从而求值域．

解答解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x＞0\\{log_2}x≠2\end{array}\right.$，
解得，0＜x≤5，且x≠4，
∴函数f（x）的定义域是（0，4）∪（4，5]；
（2）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
①当0＜a＜1时，f（x）≥log_a4，
即函数的值域是[log_a4，+∞）；
②当a＞1时，f（x）≤log_a4，
即函数的值域是（-∞，log_a4]．