2023全国100所名校单元测试示范卷数学高三1

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19．设函数f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$，g（x）=f（x）-x=2^1-h（x），当x＞0时，下列判断正确的是（　　）

试题答案

分析 先根据导数求出g（x）的最小值，再根据复合函数的单调性得到h（x）为单调递减函数，继而求出h（x）的最大值，即可比较大小．

解答 解：g（x）=f（x）-x=e^x+$\frac{x}{x+1}$，
∴g′（x）=f′（x）-x′=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-1＞0，在x＞0时恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）=1，
∵g（x）=f（x）-x=2^1-h（x），
∴log₂（g（x））=1-h（x），
∴h（x）=1-log₂（g（x）），
∵y=log₂x为增函数，g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=1-log₂1=1，
∴g（x）＞h（x），
故选：A．

点评 本题考查了函数的最值问题，关键是求导和利用复合函数的性质，属于中档题．