2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷(一)第一单元 集合与常用逻

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4．函数f（x）=sinxcosx+sinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数的最小值是-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．试题答案

分析 先求导，根据f（x）的单调性求函数的最值．

解答 解：∵f（x）=sinxcosx+sinx，
∴f′（x）=cos²x-sin²x+cosx=2cos²x+cosx-1，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴0≤cosx≤1，
令f′（x）=0，解得cosx=$\frac{1}{2}$或cosx=-1（舍），即x=-$\frac{π}{3}$，或x=$\frac{π}{3}$，
当f′（x）＞0时，解的cosx＞$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，解的0≤cosx＜$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{2}$≤x＜-$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，函数单调递减，
当x=-$\frac{π}{3}$时，函数f（x）有极小值，即f（-$\frac{π}{3}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）cos（-$\frac{π}{3}$）+sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵f（$\frac{π}{2}$）=1，
∴函数的最小值是-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，以及三角函数的图象和性质，关键是判断函数的单调区间，属于中档题．