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2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn+3=3an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3an，Tn=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：${T_n}＜\frac{3}{4}$．试题答案
分析 （1）由已知求出a1=3，an=3an-1（n≥2），由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，利用错位相减法能证明${T_n}＜\frac{3}{4}$．
解答 （本题满分12分）
（1）解：当n=1时，2S1+3=3a1，∴a1=3．（1分）
当n≥2时，2Sn+3=3an，2Sn-1+3=3an-1，
∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1，（3分）
∴an=3an-1（n≥2）．
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列 （5分）
∴数列{an}的通项公式为an=3n．（6分）
（2）证明：由（1）得$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，（7分）
∴Tn=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}$+…+（n-1）×（$\frac{1}{3}$）n-1+n×（$\frac{1}{3}$）n，①（8分）
∴$\frac{1}{3}$Tn=$（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}+…+$$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}+n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，②（9分）
由①-②得
$\frac{2}{3}$Tn=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，（11分）
∴Tn=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×3n}$＜$\frac{3}{4}$．
∴${T_n}＜\frac{3}{4}$．（12分）
点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
