100所名校单元测试示范卷数学必修四2023

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15．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），S_2n=an²+bn，则ab等于（　　）

试题答案

分析 a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），分别令n=1，2，3，4，可得a₁，a₂，a₃，a₄．由于S_2n=an²+bn，可得S₂=a+b=a₁+a₂，S₄=4a+2b=a₁+a₂+a₃+a₄，联立解出即可得出．

解答 解：∵a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），
∴a₁=1，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=3，a₄=$\frac{4}{5}$．
∵S_2n=an²+bn，
∴S₂=a+b=a₁+a₂=$\frac{7}{5}$，
S₄=4a+2b=a₁+a₂+a₃+a₄=1+$\frac{2}{5}$+3+$\frac{4}{5}$=$\frac{26}{5}$．
联立解得b=$\frac{1}{5}$，a=$\frac{6}{5}$．
则ab=$\frac{6}{25}$．
故选：A．

点评 本题考查了数列的通项公式及其前n项和公式及其性质、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．