卷临天下2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学卷九平面向量

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3．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinA•5sinC．
（I）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．试题答案

分析 由题意和正弦定理可得b²=10ac，（I）当a=b时c=$\frac{b}{10}$，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$计算可得；
（Ⅱ）由题意可得b²=10ac=a²+c²，解方程可得c值，代入S=$\frac{1}{2}$ac可得．

解答 解：∵sin²B=2sinA•5sinC，
∴由正弦定理可得b²=10ac，
（I）若a=b，则b²=10bc，解得c=$\frac{b}{10}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）∵B=90°，a=$\sqrt{2}$，
∴b²=10ac=a²+c²，
∴10$\sqrt{2}$c=2+c²，解得c=5$\sqrt{2}$±4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac=5±2$\sqrt{6}$

点评 本题考查正余弦定理，涉及三角形的面积公式，属基础题．