2023卷临天下《全国100所名校单元测试示范卷高三数学文科·全国人教Y卷 答

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9．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且|f（x）|＜2，求a的取值范围．试题答案

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的范围，再根据|f（x）|＜2求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，可得：-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1∈[a，3+a]，
∵由|f（x）|＜2，可得：-2＜f（x）＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜2}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得：a∈（-2，-1）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，考查了计算能力，属于基础题．