卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷六第六单元第二次综合测试

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13．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（-x），当x∈（0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=log₂（x+1），则f（x）在区间（-1，-$\frac{1}{2}$）内是（　　）

试题答案

分析 根据函数奇偶性和对称性，与函数单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（-x），
∴f（x+1）=f（-x）=-f（x），
则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵f（0）=0，当x∈（0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=log₂（x+1）为增函数，且此时f（x）＞0
∴函数在x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上f（x）为增函数，
当x∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，f（x）＜0，
∵f（x+1）=f（-x），
∴函数关于x=$\frac{1}{2}$对称，
∵f（x）是奇函数，
∴函数关于x=-$\frac{1}{2}$对称，
则f（x）在区间（-1，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，且f（x）＜0，
故选：A

点评 本题主要考查抽象函数的性质的考查，利用函数的奇偶性，判断函数的周期性，对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键．