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11．（理）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，对任意n∈N+，有an+1=$\frac{2}{3}$Sn，则an=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．试题答案
分析 利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
解答 解：对任意n∈N+，有an+1=$\frac{2}{3}$Sn，
∴当n≥2时，${a}_{n}=\frac{2}{3}{S}_{n-1}$，
∴an+1-an=$\frac{2}{3}{a}_{n}$．
∴${a}_{n+1}=\frac{5}{3}{a}_{n}$，
又${a}_{2}=\frac{2}{3}×{a}_{1}$=$\frac{2}{3}$．
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，a2=$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{5}{3}$，
∴n≥2时，${a}_{n}={a}_{2}×{q}^{n-2}$=$\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}$．
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
