卷临天下2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学十

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3．若点P是函数f（x）=x²-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-2=0的最小距离为$\sqrt{2}$．试题答案

分析 设x-y+m=0与函数f（x）=x²-lnx的图象相切于点P（x₀，y₀）．f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，则$2{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}$=1，x₀＞0，解得x₀．再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：设x-y+m=0与函数f（x）=x²-lnx的图象相切于点P（x₀，y₀）．
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，则$2{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}$=1，x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=1，
∴点P（1，1）到直线x-y-2=0的距离为最小距离d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究切线的斜率、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．