卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷2答案

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11．下列四个命题：
（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则b²-8a＜0且a＞0；
（3）y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）和[-1，0]；
（4）y=1+x和y=$\sqrt{{{（1+x）}^2}}$表示相等函数．
其中结论是正确的命题的题号是（3）．试题答案

分析 （1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，只能说函数的增区间为（-∞，0）和（0，+∞）
（2）若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则△＜0，a≠0，或a=0，b=0；
（3）y=x²-2|x|-3为偶函数，当x＞0时，y=x²-2x-3，先判断其单调性，再利用偶函数性质求原函数的单调性；
（4）y=$\sqrt{{{（1+x）}^2}}$=|1+x|．

解答 解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，只能说函数的增区间为（-∞，0）和（0，+∞），但在定义域内不一定是增函数，故错误；
（2）若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则b²-8a＜0且a≠0或a=0，b=0；
（3）y=x²-2|x|-3为偶函数，当x＞0时，y=x²-2x-3可知在（0，1）递减，（1，+∞）递增，由偶函数的性质可知，原函数的递增区间为[1，+∞）和[-1，0]，故正确；
（4）y=$\sqrt{{{（1+x）}^2}}$=|1+x|，故错误．
故答案为（3）．

点评 考查了函数单调区间的确定，偶函数的单调性和对参数的分类讨论．