卷临天下2023高一全国一百所名校单元测试示范卷数学卷二

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20．已知函数f（x）满足其导函数f′（x）=1-πsinπx，且f（1）=-2，则f（$\frac{1}{2016}$）十f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$），的值为（　　）

试题答案

分析 根据条件可得f（x）=x+cosπx-2，该函数满足f（x）+f（1-x）=[x+cosπx-2]+[1-x+cos（π-πx）-2]=-3，再用倒序相加法求和．

解答 解：∵f’（x）=1-πsinπx，
∴可设f（x）=x+cosπx+C，其中C为常数，
由于f（1）=-2，所以C=-2，
即f（x）=x+cosπx-2，
又f（x）+f（1-x）=[x+cosπx-2]+[1-x+cos（π-πx）-2]=-3，
记A=f（$\frac{1}{2016}$）十f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$），
则A=f（$\frac{2015}{2016}$）十f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2013}{2016}$）+…+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{1}{2016}$），
两式相加（倒序相加）得，2A=2015×（-3），
所以，A=-$\frac{6045}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了导数的运算，三角函数的恒等变换，以及运用倒序相加法求和，属于中档题．