卷临天下20231全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷一

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18．已知圆O：x²+y²=4，直线l：x+y-4=0，A为直线l上一点，若圆O上存在两点B、C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是[0，4]．试题答案

分析 先确定从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，进而求出OA的长度为4，故可转化为在直线上找到一点，使它到点O的距离为4．

解答 解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠POQ为120°，所以OA的长度为4，
故问题转化为在直线上找到一点，使它到点O的距离为4．
设A（x₀，4-x₀），则∵O（0，0），∴x₀²+（4-x₀）²=16
∴x₀=0或4
∴满足条件的点A横坐标的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．