卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷·数学卷(二)

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17．设函数f（x）=（log₂x）²-log₂x^2a+a²-1，在[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]上的值域为[-1，0]，求实数a的取值范围．试题答案

分析 令t=log₂x，∵x∈[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]，∴t∈[a-1，a²-2a+2]，再结函数图象等价转化求解．

解答 解：令t=log₂x，∵x∈[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]，
∴t∈[a-1，a²-2a+2]，则：
f（x）=g（t）=t²-2at+a²-1=（t-a）²-1，
当函数g（t）的值域为[-1，0]时，即（t-a）²-1∈[-1，0]，
解得，t∈[a-1，a+1]，且t=a时，g（t）取得最小值-1，
再结合二次函数g（t）的图象，要使t∈[a-1，a²-2a+2]，g（t）∈[-1，0]，
则a²-2a+2∈[a，a+1]，即$\left\{\begin{array}{l}{a^2-2a+2≥a}\\{a^2-2a+2≤a+1}\end{array}\right.$，
解得a∈[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，1]∪[2，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题主要考查了函数的图象与性质，以及含参值域问题的解法，运用了换元法与数形结合的解题思想，属于中档题．