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江西省2026届七年级第二次阶段适应性评估【R-PGZX A-JX】数学试卷答案

17．设数列{$\frac{1}{4{n}^{2}}$}的前n项和为T_n，求证：$\frac{n}{4n+4}$＜T_n＜$\frac{1}{2}$．

分析由{a_n}是等差数列，可得a₁+a_n+1=a₂+a_n=…．S_n=a₁${C}_{n}^{0}$+a₂${C}_{n}^{1}$+…+a_n+1${C}_{n}^{n}$（n≥1）．倒序S_n=a_n+1${∁}_{n}^{n}$+a_n${∁}_{n}^{n-1}$+…+${a}_{1}{∁}_{n}^{0}$（n≥1），再相加即可得出．．

解答解：由{a_n}是等差数列，∴a₁+a_n+1=a₂+a_n=…．
S_n=a₁${C}_{n}^{0}$+a₂${C}_{n}^{1}$+…+a_n+1${C}_{n}^{n}$（n≥1）．
倒序S_n=a_n+1${∁}_{n}^{n}$+a_n${∁}_{n}^{n-1}$+…+${a}_{1}{∁}_{n}^{0}$（n≥1）．
相加可得：2S_n=（a₁+a_n+1）${∁}_{n}^{0}$+（a₂+a_n）${∁}_{n}^{1}$+…+（a_n+1+a₁）${∁}_{n}^{n}$=（a₁+a_n+1）$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n}）$=（a₁+a_n+1）•2ⁿ=（2a₁+nd）•2ⁿ．
∴S_n=（2a₁+nd）•2^n-1．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其性质、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．