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江西省2024届九年级训练（二）［10.28］数学试卷答案

8．求证：${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+3${C}_{n}^{2}$+…+（n+1）${C}_{n}^{n}$=2ⁿ+n•2^n-1．

分析（1）偶数的话，末位必须是偶数，即末位只能是0，2，4，首位不能是0，可以先算出奇数有多少个，再用总数减去奇数个数，这样比直接算偶数简单点儿．
（2）先排1，3，有2种方法，再插入0，2，4，0不在首位，可得结论；
（3）先排1，3，有2种方法，再插入3个偶数相邻，有${C}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}$=18种方法，其中0在首位，不合题意，有2种，即可得出结论．

解答解：（1）五位数，第一位不能是0，剩下四位自由排列，所以共有4•（4•3•2•1）=96，即能组成96个无重复的五位数．
奇数末位可以是1或者3，当末位是1的时候，因为首位只能是2，3，4中的一个，共有三种可能，剩下三位自由组合，所以．奇数共有3•（3•2•1）=18个，
同理当末位是3时也是18个．也就是说奇数共有36个，
则偶数有96-36=60个．
（2）先排1，3，有2种方法，再插入0，2，4，0不在首位，有${A}_{3}^{3}$-2=4种方法，故共有8个；
（3）先排1，3，有2种方法，再插入3个偶数相邻，有${C}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}$=18种方法，其中0在首位，不合题意，有2种，
故共有2×（18-2）=32种方法．

点评本题考查排列组合与计数原理的综合应用，注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，考查分析问题解决问题能力．