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陕西省2024届九年级期中教学素养测评（二）数学试卷答案

10.具有同种食物来源的两种捕食者之间,存在相互捕食对方的现象,称之为集团内双向捕食,如瓢虫的两种天敌之间的关系,其表现为两种捕食者的老熟幼虫或成虫相互捕食对方的低龄幼虫(如图)。某些化学物质是集团内捕食者用来发现集团内猎物的存在并对之进行定位的信号物质,这种现象对群落中相关物种的种群动态和害虫的防治有着很大影响。下列说法正确的是A.通过调查植食性瓢虫的性别比例,可以预测其种群数量的变化趋势B.天敌1和天敌2的种间关系为捕食和竞争,能量在两者动C.通过某些化学物质来减弱集团内双向捕食的发生,不利于集团内猎物自我防御D.合理地组配不同的天敌来有效控制有害生物种群发展的方法属于生物防治

分析（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，用余弦定理即可求值得解．
（2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，．再利用c²=2b-b²，化为$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．由于c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．利用二次函数的单调性即可得出．

解答解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a，∴a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）∵O为△ABC三边中垂线的交点，
∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ACD=∠ABD=90°，cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．
∵c²=2b-b²，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-AB）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²
=$\frac{1}{2}$b²-${\frac{1}{2}}^{\;}$c²=$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$（2b-b²）
=b²-b=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∵c²=2b-b²＞0，
∴0＜b＜2，
设f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，又f（0）=0，f（2）=2，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是：[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．