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2024届炎德英才大联考 长沙市一中高三月考试卷(四)数学试卷答案

9.2022年北京冬奥会,跳台滑雪项目的比赛场地别具一格,形似“如意”,该场地被称为“雪如意”,如图甲所示,其赛道的简易图如图乙所示.赛道由曲轨道和倾斜轨道组成,总质量为m的运动员由赛道上一定高度处滑下,由O点沿水平方向飞出,经过时间t落在倾角为α的倾斜轨道上的A点.假设运动员可视为质点,O、A间视为直道,空气阻力可不计,重力加速度为g,则下列说法正确的是A.运动员在A点时的速度与水平方向的夹角为2αB.如果离开O点的速度减半,则运动员在倾斜轨道的落点到O点的距离为OA间距的C.运动员落在A点时的速度为gt21+4^2D.运动员落在A点时重力的功率为mg^2l21+4^2

分析设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x_A+x_B．再利用弦长公式|AB|=x_A+x_B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．

解答解：抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为y=2（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px可得4x²-6px+p²=0
∴x_A+x_B=1.5p，
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=2.5p=10
∴p=4，
∴此抛物线的方程为y²=8x．

点评本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．