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金华十校2023年11月高三模拟考试数学试卷答案

5.如图所示,一颗行星和一颗彗星绕同一恒星运行的轨道分别为A和B,其中A是半径为R的圆轨道,B是长轴QQ'为2R(Q点离恒星近)的椭圆轨道。P点为两轨道的交点,不考虑行星与彗星间的万有引力,下列说法正确的是A.彗星和行星经过P点时的速度相同B.彗星和行星经过P点时的加速度相同C.彗星和行星绕恒星运动的周期不相同D.彗星从Q运动到Q'的过程中,机械能一直增大

分析（1）已知等式利用余弦定理化简整理后得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC及已知面积代入取出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形求出a+b的值，联立即可求出a与b的值．

解答解：（1）解：（1）∵（2a-b）cosC=c•cosB，
由余弦定理（2a-b）•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=c•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵在三角形中，C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由$S=\frac{1}{2}absinC=10\sqrt{3}$可得：ab=40，①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：c²=49=（a+b）²-3ab=（a+b）²-120，即a+b=13，②
联立①②解得：a=5，b=8或a=8，b=5，
∵a＞b，
∴a=8，b=5．

点评此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．