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陕西省2023-2024年学年度八年级第一学期期中学业水平测试数学试卷答案

2．已知p：x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x²+（4m-2）x+1=0无实数根．
（1）若q为真，求实数m的取值范围；
（2）若p为真q为假，求实数m的取值范围．

分析（I）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可证明，再利用等差数列的通项公式即可得出a_n．
（II）对任意正整数n，都有（1+$\frac{{b}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}$）•n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$成立，可得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答证明：（I）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，首项为2，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+3}{2}$，∴a_n=$\frac{2}{n+3}$．
（II）对任意正整数n，都有（1+$\frac{{b}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}$）•n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$成立，
∴$（1+\frac{（n+3）^{2}{b}_{n}}{4}）•n$=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$，
化为n•（n+3）²b_n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{n+1}$-4n=$\frac{（n+3）^{2}}{n+1}$，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{2}$≤S_n＜1．

点评本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．