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天一大联考·河南省2023-2024学年高二基础年级阶段性测试（期中上）数学试卷答案

15.(18分)如图所示,固定斜面的倾角为=37^,,斜边长L=1m。。从斜面顶端由静止释放一质量为m=1kg的小物块,到达斜面底端时,滑上放在光滑水平地面上的长木板。假定物块从斜面底端滑上长木板时速度大小不变,物块与斜面间的动摩擦因数1=0.5,,与长木板间的动摩擦因数为2=0.1,,长木板质量为M=2kg且足够长,物块不会从木板上滑落。已知重力加速度:大小取10m/s^2,37^=0.6,37^=0.8,,求:(1)物块在斜面上运动过程中,摩擦力做的功。(2)物块滑到斜面底端时,重力做功的功率。(3)物块在和长木板相互作用过程中,摩擦力对物块做的功及系统产生的热量各为多少?

分析（1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C₂上点的距离的最小值．

解答解：（1）∵在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a为参数），
∴曲线C₁的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）∵P为曲线C₁上的动点，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴点P到C₂上点的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴点P到C₂上点的距离的最小值是$\sqrt{2}$．

点评本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．