24届高三年级TOP二十名校调研考试七数学

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试题答案

24届高三年级TOP二十名校调研考试七数学试卷答案

15.sin22.5°•cos22.5°=$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

分析由已知求出两向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的夹角,进一步设出$\overrightarrow{a}$=(2,0),$\overrightarrow{b}$=(1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{c}$=(x,y),结合$(\overrightarrowa-\overrightarrowc)•(\overrightarrowb-\overrightarrowc)≤0$,可得(x,y)表示以($\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$)为圆心,以1为半径的圆及圆内部.画出图形,数形结合得答案.

解答解:设$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=θ$,则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$,
∴θ=60°,
∴由题意可设$\overrightarrow{a}$=(2,0),$\overrightarrow{b}$=(1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{c}$=(x,y),
则:$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$=(2-x,-y),$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$=(1-x,$\sqrt{3}$-y).
∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})•(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$=${x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y$≤0.
即$(x-\frac{3}{2})^{2}+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}≤1$.
∴(x,y)表示以($\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$)为圆心,以1为半径的圆及圆内部.
|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示点(x,y)到原点的距离,如图所示:
连接圆心和原点O,与圆的交点到原点的距离最小.
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{3}$-1.
故答案为:$\sqrt{3}-1$.

点评本题考查平面向量的数量积运算,训练了利用向量坐标解决向量问题的方法,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

话题:
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