内蒙古2023-2024学年度高二年级上学期11月期中联考数学试卷答案,我们目前收集并整理关于内蒙古2023-2024学年度高二年级上学期11月期中联考数学得系列试题及其答案，更多试题答案请关注微信公众号：趣找答案/直接访问www.qzda.com(趣找答案)

内蒙古2023-2024学年度高二年级上学期11月期中联考数学试卷答案

3.滚筒洗衣机有可烘干衣服、洗净度较高、对衣服磨损小、节水、节约洗衣粉、转速比较高等优点,但也有洗衣时间长、比较耗电、维修费用较高等缺点。如图所示,若某滚筒洗衣机甩干衣服(包括衣服中的水,视为质点)时,滚筒做匀速圆周运动,转动的角速度大小为30πrad/s,衣服的转动半径为0.24m,取重力加速度大小g=^2,,则下列说法正确的是A.衣服在滚筒内最高点A时对筒壁的压力小于其所受的重力B.水滴最容易在最高点A离开衣服C.衣服运动到与圆心等高点时,只受滚筒的支持力作用D.衣服在最低点B时受到的支持力是其所受重力的217倍

分析（1）由椭圆的离心率结合隐含条件求得a，c的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数的关系可得C，D两点的横坐标的和与积，把$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$转化为点的横坐标间的关系，代入根与系数的关系后求得k值；
（3）由椭圆方程求出A的坐标，得到k_AC，k_AD，代入根与系数的关系证得答案．

解答（1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，即a²=3c²，
又b²=4，a²=b²+c²，
∴c²=2，a²=6．
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）解：如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设其方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+6kx-9=0．
再设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{9}{2+3{k}^{2}}$，
若$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，则x₁=x_G-x₂，即x₁+x₂=x_G，
由y=kx+1，取y=0可得${x}_{G}=-\frac{1}{k}$，
∴$-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}=-\frac{1}{k}$，解得：$k=±\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）证明：由题意方程可得A（0，-2），
则${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}，{k}_{AD}=\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$，
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=${k}^{2}（-\frac{9}{2+3{k}^{2}}）+k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+1$=$\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+2$=$\frac{4}{2+3{k}^{2}}$．
∴k_AC•k_AD=$\frac{\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}+\frac{8}{2+3{k}^{2}}+4}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{18}{2+3{k}^{2}}}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}=-2$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求解，属中档题．