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耀正文化 2024届名校名师测评卷(二)数学试卷答案

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分析根据当函数y=sinx在区间$[t，t+\frac{π}{2}]$上单调时，则M（t）-m（t）取得最大值，由此求得M（t）-m（t）的最大值；当区间$[t，t+\frac{π}{2}]$关于它的图象的对称轴对称时，M（t）-m（t）取得最小值，从而求得M（t）-m（t）的最小值．

解答解：函数y=sinx在区间$[t，t+\frac{π}{2}]$上的最大值为M（t），最小值为m（t），
区间的长度为$\frac{π}{2}$，正好为函数的周期的$\frac{1}{4}$，
故当函数y=sinx在区间$[t，t+\frac{π}{2}]$上单调时，则M（t）-m（t）取得最大值．
不妨假设函数y=sinx在区间$[t，t+\frac{π}{2}]$上单调递增，
则M（t）-m（t）取得最大值为sin（t+$\frac{π}{2}$）-sint=cost-sint=$\sqrt{2}$cos（t+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故M（t）-m（t）取得最大值为$\sqrt{2}$．
当区间$[t，t+\frac{π}{2}]$关于它的图象的对称轴对称时，M（t）-m（t）取得最小值，
此时，sin（t+$\frac{π}{4}$）=±1，不妨设sin（t+$\frac{π}{4}$）=1，即t+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即t=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
则M（t）-m（t）取得最小值为sin（t+$\frac{π}{4}$）-sint=1-sin（2kπ+$\frac{π}{4}$）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故M（t）-m（t）的最小值和最大值分别为1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性、图象的对称性的应用，属于中档题．