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广东省2023-2024学年佛山高三年级15校联盟12月联考数学试卷答案

8．已知tanα=2，求下列各式的值
（Ⅰ）$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$
（Ⅱ）$\frac{1}{4}{sin^2}α+\frac{1}{3}sinαcosα+\frac{1}{2}{cos^2}α+1$．

分析圆C：ρ=-4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程，可得圆心C，半径r．直线l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$展开即可化为直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d，即可得出圆C上的动点P到直线l的最短距离=d-r．

解答解：圆C：ρ=-4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，化为x²+y²=-4y，配方为x²+（y+2）²=4，可得圆心C（0，-2），半径r=2．
到直线l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化为x+y-2=0．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圆C上的动点P到直线l的最短距离=d-r=2$\sqrt{2}$-2．
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．