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百师联盟 2024届高三仿真模拟考试新教材90/75分钟(四五)数学试卷答案

14.DMF是一种优良的工业溶剂和有机合成材料,含DMF的废水毒性大,对环境造成严重的危害,实验小组筛选出了一株DMF降解菌,为富含DMF污水的处理提供专用菌剂,保证污水处理后达标排放。下列相关叙带误的是A.用于富集DMF降解菌体语养基应加入DMF和不希要B.平板划线法可用于接种DMF降解菌,但不能对其进行计数C.设置不接种菌液的培养基可判断培养基是否被污染若出现菌落即被污染D.在培养基中加入葡萄糖可促进细菌对

分析（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性即可；
（2）问题转化为a≤$\frac{x}{lnx-x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{x}{lnx-x}$，通过求导得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答解：（1）f（x）的定义域是R，
f′（x）=2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2x+a}{x}$，
a≥0时：f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增；
a＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{2}$，
∴f（x）在（-$\frac{a}{2}$，+∞）递增；
（2）若不等式f（x）≥（a+3）x在（0，+∞）上恒成立，
即a（lnx-x）≥x在（0，+∞）恒成立，
∵lnx-x＜0，
∴只需a≤$\frac{x}{lnx-x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{x}{lnx-x}$，则g′（x）=$\frac{lnx-1}{{（lnx-x）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e，
∴g（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（e）=$\frac{e}{1-e}$，
∴a≤$\frac{e}{1-e}$．

点评本题考查了函数的单调性、恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．