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广东省2024届高三年级上学期12月联考数学试卷答案
10．已知函数f（x）=2$\sqrt{2}sin\frac{π}{8}xcos\frac{π}{8}x+2\sqrt{2}{cos^2}\frac{π}{8}x-\sqrt{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为1，5，O为坐标原点，求S△OPQ．
分析先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，确定m的取值范围．
解答先画出f（x）的图象，如下图：
令t=f（x），原方程2[f（x）]2+3mf（x）+1=0可化为：
2t2+3mt+1=0，------------①
由图可知，方程f（x）=t对于每个属于（0，1）的t都有四个解，
因此，要使原函数有8个不同的零点，则关于t的方程①在（0，1）内有两个相异的实根，
根据一元二次方程实根分布，问题等价为：
$\left\{\begin{array}{l}{△=9m^2-8＞0}\\{-\frac{3m}{4}∈（0，1）}\\{2+3m+1＞0}\end{array}\right.$，解得，m∈（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
答案为：（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
点评本题主要考查了复合函数零点的个数，一元二次方程的实根分布，以及换元法和数形结合法的解题思想，属中档题．
