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安徽省2023-2024学年度高一上学期第二次月考（24031A）数学试卷答案

A1、A20图图为演示自感现象的实验电路,A、A为相同的灯泡,电感线圈L的自感系数较大,且使得图滑动变阻器R接人电路中的阻值与线圈L的直流电阻相等,下列判断正确的是A.接通开关S,灯A立即变亮A1B.接通开关S,灯A逐渐变亮A2S9C.断开开关S,灯A、A:逐渐熄灭A1、A2S9A1D.断开开关S,灯A:逐渐熄灭,A闪一下再逐渐熄灭A2

分析首先对三角函数关系式进行恒等变换，整理成tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$，再利用基本不等式求得它的最大值，

解答解：由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），可得：sinβ=sinαcos（α+β），即sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ，
等式两边都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
整理得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{tanα}{2ta{n}^{2}α+1}$，由于α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β≠$\frac{π}{2}$，
所以：tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，故tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于中档题．