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2024届湖南省高三12月联考(◇)数学试卷答案

7.B超成像原理是通过探头向人体发射超声波,遇到人体组织产生反射,经仪器处理形成B超图像。探头沿x轴正方向发射一列简谐超声波,如图所示,t=0时刻波恰好传到质点P,质点的平衡位置横坐标为3010^-5m。,已知该超声波在人体内传播的速度v=1500m/s,下列说法正确的是A.该超声波的频率为810^-8zHzB.质点Ω起振方向沿y轴负方向C.t=2.010^-7s时,质点到达波谷D.质点P第一次位移为0.2mm的时刻是,t=71510^-7s

分析令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），判断g（x），h（x）的奇偶性，可得f（x）=g（x）+h（x）+3，由g（x）+h（x）的最值之和为0，即可得到f（x）在（-∞，0）上有最大值．

解答解：令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
g（-x）+g（x）=aln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
=aln（1+x²-x²）=aln1=0，
即有g（x）为奇函数；
令h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），h（-x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$），
由h（x）+h（-x）=0，可得h（x）为奇函数，
则f（x）=g（x）+h（x）+3，
由f（x）在（0，+∞）上有最小值4，
可得g（x）+h（x）在（0，+∞）上有最小值1，
则g（x）+h（x）在（-∞，0）上有最大值-1，
即有f（x）在（-∞，0）上有最大值-1+3=2，
故选：C．

点评本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求最值，考查运算能力和构造函数的思想方法，属于中档题．