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吉林省扶余市睿博实验高级中学2023~2024高二上学期期末考试(242464D)数学试卷答案

14.烷烃催化裂解也可制备氢气:C2H6(g)C2H4(g)+H2(g)H,,催化裂解过程中利用膜反应新技术可以实现边反应边分离出生成的氢气。不同温度下,1.0mol乙烷在容积为1.0L的恒容密闭容器中发生催化裂解反应。氢气移出率[=nn气×100%]不同时,C2H6的平衡转化率与反应温度的关系如图所示。下列说法正确的是A.加入催化剂,可以通过降低反应的活化能达到减小△H的目的B.若a2=80\%,则B点时体系内碳、氢原子个数比N(C):N(H)=1:2C.若A点对应的平衡常数K=0.81,则a1=90\%D.反应达到平衡后,向容器中通人惰性气体,可以增大单位时间C2H6的转化率

分析（I）由$2{S_n}={3^n}+3$．利用递推关系可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）a_nb_n=log₃a_n，b₁=$\frac{1}{3}$．n≥2时，b_n=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答解：（I）∵$2{S_n}={3^n}+3$．
∴当n=1时，2a₁=3+3，解得a₁=3；
当n≥2时，$2{S}_{n-1}={3}^{n-1}+3$，∴2a_n=2×3^n-1，解得a_n=3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）a_nb_n=log₃a_n，∴b₁=$\frac{1}{3}lo{g}_{3}3$=$\frac{1}{3}$．
n≥2时，b_n=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$．
∴n≥2时，{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$．
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
可得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{13}{18}$-$\frac{2n+1}{2•{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n-1}}$，当n=1时也成立，
∴${T_n}=\frac{13}{12}-\frac{6n+3}{{4•{3^n}}}$．
②由${T_{n+1}}-{T_n}={b_{n+1}}=n•{3^{-n}}＞0$知道T_n递增，
而${T_1}=\frac{1}{3}$，当$n→+∞，{T_n}→\frac{13}{12}$，
若P＜T_n＜Q对于n∈N^*恒成立，有$P＜\frac{1}{3}，Q≥\frac{13}{12}$．

点评本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．