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天一大联考 顶尖联盟 2024届高中毕业班第二次考试(1月)数学试卷答案

18.(16分)如图所示,在xOy平面内,有两个半圆形同心圆弧,与坐标轴分别交于a,b、c点和a'、b'、C点,其中圆弧a'b'c的半径为R..两个半圆弧之间的区域内分布着辐射状的电场,电场方向由原点O向外辐射,其间的电势差为U.圆弧a'b'上方圆周外区域,存在着上边界为y=2R的垂直纸面向里的足够大匀强磁场,圆弧abe内无电场和磁场.O点处有一粒子源,在xOy平面内向x轴上方各个方向,射出质量为m,,电荷量为的带正电的粒子,带电粒子射出时的速度大小均为2gUm,被辐射状的电场加速后进人磁场,不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用,不考虑粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动.求:(1)粒子被电场加速后的速度(2)要使粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场,求磁场的磁感应强度的最大值B0;(3)当磁场中的磁感应强度大小为第(2)问中B0的的32倍时,求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度L.

分析（1）由题意和三角函数公式化简可得f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由x的范围可得；
（2）解绝对值不等式可得m-2＜f（x）＜m+2，由p是q的充分条件可得$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞5}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，解不等式组可得．

解答解：（1）由题意和三角函数公式化简可得
f（x）=$4×\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=-2cos（$\frac{π}{2}$+2x）-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
由三角函数的最值可得
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）_max=5，
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）_min=3；
（2）∵|f（x）-m|＜2，∴m-2＜f（x）＜m+2，
又∵p是q的充分条件，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞5}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，
解得3＜m＜5

点评本题考查三角函数恒等变换以及最值，涉及简易逻辑的应用，属基础题．