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河南省开封市2023-2024学年第一学期九年级调研检测数学试卷答案

5．已知点A（4，8）关于直线l₁：x+y=4的对称点B在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l₂与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点． 是否存在定点D，使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

分析运用乘1法，可得f（x）=$\frac{1}{5}$•5（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）=$\frac{1}{5}$[（1+x²）+（4-x²）]（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$），展开后再用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答解：f（x）=$\frac{1}{5}$•5（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{5}$[（1+x²）+（4-x²）]（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{5}$[13+$\frac{9（4-{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4（1+{x}^{2}）}{4-{x}^{2}}$]
≥$\frac{1}{5}$（13+2$\sqrt{9•4}$）=5．
当且仅当2（1+x²）=3（4-x²），即x=±$\sqrt{2}$时，
f（x）取得最小值5．
故答案为：5．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题和易错题．