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湖北省2023-2024学年高二元月期末考试(2024.1)数学试卷答案

13．等差数列{a_n}中，a₁=-8，a₁₀=10，其各项绝对值的和T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|求T_n．

分析（I）将切化弦及降次公式和两角和的正弦公式化简，求出f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{3}{2}$求出A，再利用余弦定理解出AB，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA即可．

解答解：（I）f（x）=（1+$\sqrt{3}$$\frac{sinx}{cosx}$）cos²x=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2x$+\frac{π}{6}$）≤1，
∴0＜sin（2x$+\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
∴f（x）的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$]．
（II）∵f（A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AC•AB•cosA，
即（2$\sqrt{3}$）²=AB²+4-2AB，
解得AB=4，或AB=-2（舍）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•AB•AC•sinA$=$\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评本题考查了三角函数求值及解三角形，解题关键是将f（x）进行化简．