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邯郸市2023-2024学年第一学期高二年级期末质量检测数学试卷答案

2.波源O垂直于纸面做简谐运动,所激发的横波在均匀介质中沿纸面向四周传播,图甲为该简谐波在t=0.10s时的俯视图,实线圆表示波峰,虚线圆表示波谷,相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆,该介质中某质点的振动图像如图乙所示,取垂直纸面向外为正方向,下列说法正确的是()A.该波的波速为15cm/sB.图甲中质点p和Q的相位差为xc.图甲中质点N在该时刻速度方向垂直纸面向外D.图乙可能是质点N的振动图像

分析（1）求出x关于y的函数，然后将x，y互换位置得到反函数，注意自变量的取值范围；
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，由复合函数的单调性可知若f（x）在定义域上单调递增，则a²-a-2＜0．

解答解：（1）a=1时，y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2^x=$\frac{2}{1-y}-1$，x=log₂（$\frac{2}{1-y}-1$），
∴f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}-1$），（-1＜x＜1）．
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，
∵f（x）在定义域上单调递增，
∴a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（-1，2）．

点评本题考查了反函数的求法及复合函数的单调性，注意定义域的范围．