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百师联盟 2024届高三冲刺卷(四)4数学试卷答案

18．已知α∈（$\frac{π}{6}$，π），$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow{b}$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），当f（x）=$\frac{1}{3}$时，α=$\frac{π}{4}$．

分析（1）利用数量积运算性质、和差公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）由f（B+C）=1，可得$sin（B+C+\frac{π}{6}）$=1，化为sin$（A-\frac{π}{6}）$=1，根据A∈（0，π），可得$A=\frac{2π}{3}$．再利用正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sinB}$，可得B，进而得到C．于是△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$．

解答解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$sin\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$+$\frac{1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$+$\frac{1}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得2kπ$-\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间是[2kπ$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$+2kπ]，（k∈Z）．
（2）∵f（B+C）=1，
∴$sin（B+C+\frac{π}{6}）$=1，
∴$sin（π-A+\frac{π}{6}）$=1，
∴sin$（A-\frac{π}{6}）$=1，
∵A∈（0，π），
∴$（A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
解得$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{2π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sinB}$，∴sinB=$\frac{1}{2}$，又B为锐角，∴$B=\frac{π}{6}$，可得C=$\frac{π}{6}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评本题考查了数量积运算性质、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、三角形内角和定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．