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百师联盟 2024届高三冲刺卷(四)4 福建卷数学试卷答案

(2)改变滑块的转速,以不同的角速度做匀速圆周运动,测得每次力传感器的示数F及对应的匀速圆周运动的周期T,作F-1T^2图像,如果图像是一条过原点的倾斜直线,且图像的斜率等于,则表明在质量、半径一定时,向心力与w2(选填“”“^2”或“1^2)成正比

分析（1）令log_ax=t，x=a^t，求出f（t）的解析式，可得f（x）的解析式．
（2）根据函数的解析式判断函数的奇偶性和单调性．
（2）不等式即f（1-m）＜f（m²-1），可得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得m的范围．

解答解：（1）∵知a＞0且a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-x^-1），令log_ax=t，x=a^t，
∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^t-a^-t ），t∈R，
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x），x∈R．
（2）由于f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^-x-a^x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，而t=a^x-a^-x在R上是增函数，
故f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{x}}$ 在R是增函数．
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，而t=a^x-a^-x在R上减增函数，
故f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{x}}$在R是增函数．
（3）当f（x）定义域为（-1，1）时，关于m的不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0，
即f（1-m）＜f（m²-1），∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评本题主要考查求函数的解析式，函数的单调性和奇偶性的判断，解其它不等式，属于中档题．