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2023~2024学年核心突破XGKFJ(二十六)26答案数学试卷答案

20．作短轴长为2b的椭圆的内接矩形，若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b²，4b²]，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

分析（1）先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）即可；
（2）根据x的范围求出$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$的范围，从而求出函数f（x）的值域即可；
（3）先求出A的三角函数值，再求出A+B的值，根据两角和的余弦公式计算即可．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（?x）-2•$\frac{1-cos（ωx）}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（?x）+cos（?x）-1
=2sin（?x+$\frac{π}{6}$）-1，
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，
即$\frac{2π}{ω}$=3π，解得?=$\frac{2}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1；
（2）x∈$（{-\frac{π}{2}，π}）$时：$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时：f（x）取得最小值-2，
$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时：f（x）取得最大值1，
故函数f（x）的值域是（-2，1]；
（3）$\sqrt{3}$a=2csinA，由正弦定理得
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$，…（8分）
又sinA≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（9分）
又因为 a＜b＜c，所以C=$\frac{2π}{3}$，
由f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，
得：2sin[$\frac{2}{3}$（$\frac{3A}{2}$+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]-1=$\frac{11}{13}$，
∴2sin（A+$\frac{π}{2}$）-1=$\frac{11}{13}$，
∴cosA=$\frac{12}{13}$，sinA=$\frac{5}{13}$，
而A+B=π-C=$\frac{π}{3}$，
∴cos（A+B）=cos$\frac{π}{3}$，
∴cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{2}$，
∴676cos²B-24×26cosB+69=0，
解得：cosB=$\frac{{5\sqrt{3}+12}}{26}$或$\frac{{5\sqrt{3}-12}}{26}$．

点评本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，是一道中档题．