2023~2024学年核心突破XGKFJ(二十六)26答案数学

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试题答案

2023~2024学年核心突破XGKFJ(二十六)26答案数学试卷答案

20.作短轴长为2b的椭圆的内接矩形,若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b2,4b2],则椭圆离心率的取值范围是(  )

A.[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1)B.[$\frac{\sqrt{5}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$]C.(0,$\frac{\sqrt{5}}{3}$]D.(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

分析(1)先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin(ωx+$\frac{π}{6}$)-1,根据周期公式可求ω,进而求f(x)即可;
(2)根据x的范围求出$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$的范围,从而求出函数f(x)的值域即可;
(3)先求出A的三角函数值,再求出A+B的值,根据两角和的余弦公式计算即可.

解答解:(1)f(x)=$\sqrt{3}$sin(?x)-2•$\frac{1-cos(ωx)}{2}$
=$\sqrt{3}$sin(?x)+cos(?x)-1
=2sin(?x+$\frac{π}{6}$)-1,
依题意函数f(x)的最小正周期为3π,
即$\frac{2π}{ω}$=3π,解得?=$\frac{2}{3}$,
所以f(x)=2sin($\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$)-1;
(2)x∈$({-\frac{π}{2},π})$时:$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时:f(x)取得最小值-2,
$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时:f(x)取得最大值1,
故函数f(x)的值域是(-2,1];
(3)$\sqrt{3}$a=2csinA,由正弦定理得
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$,…(8分)
又sinA≠0,∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,…(9分)
又因为 a<b<c,所以C=$\frac{2π}{3}$,
由f($\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$)=$\frac{11}{13}$,
得:2sin[$\frac{2}{3}$($\frac{3A}{2}$+$\frac{π}{2}$)+$\frac{π}{6}$]-1=$\frac{11}{13}$,
∴2sin(A+$\frac{π}{2}$)-1=$\frac{11}{13}$,
∴cosA=$\frac{12}{13}$,sinA=$\frac{5}{13}$,
而A+B=π-C=$\frac{π}{3}$,
∴cos(A+B)=cos$\frac{π}{3}$,
∴cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{2}$,
∴676cos2B-24×26cosB+69=0,
解得:cosB=$\frac{{5\sqrt{3}+12}}{26}$或$\frac{{5\sqrt{3}-12}}{26}$.

点评本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,正弦定理的应用,是一道中档题.

话题:
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