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炎德英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数学试卷答案

9.设NA为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是A.25^C时,1LpH=1的H2SO4溶液中含有H^+的数目为0.2NAB.1L0.1molL^-1的Na2CO3溶液中含有CO3^2-的数目为0.1NAC.25^C时,pH=13的NaOH溶液中含有OH^-的数目为0.1NAD.25^C时,1LpH=10的CH3COONa溶液中,水电离出的H^+的数目为10^-4NA

分析（Ⅰ）由条件可知，${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$，即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$，整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$，即可证明．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$，即${S_n}=n•{2^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答（Ⅰ）证明：由条件可知，${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$，即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$，
整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$，
∴数列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$是以1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$，即${S_n}=n•{2^n}$，
令T_n=S₁+S₂+…+S_n${T_n}=1•2+2•{2^2}+…+n•{2^n}$①
$2{T_n}=1•{2^2}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$②
①-②，$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$，
整理得${T_n}=2+（n-1）•{2^{n+1}}$．

点评本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．