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云南民族大学附属高级中学2024届高三联考卷(五)5(243448D)数学试卷答案

13.亚硝酰硫酸(NOSO4H)主要用于重氮化反应。在实验室中,将二氧化硫通人到浓硫酸和浓硝酸的混合液中,在低于20^C条件下发生氧化还原反应制备少量NOSO4H(硝酸被还原,二氧化硫被氧化,夹持装置略)。已知:NOSO4H遇水分解,溶于浓硫酸不分解。下列说法错误的是A.导管a的作用是平衡气压,保证液体顺利滴下B.装置B中多孔球泡的作用为增大反应物接触面积,使反应更充分C.装置C倒置漏斗可以去掉D.该实验装置可能导致NOSO4H1的产率降低

分析（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，可得四边形F₁OMP是平行四边形，又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，可知F₁OMP是菱形，由此可以导出a，b，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率；
（2）运用离心率公式和N满足双曲线的方程，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，
∴四边形F₁OMP是平行四边形，
又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，
可得cos∠POM=cos∠POF₁，
即有∠POM=∠POF₁，
则四边形F₁OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，
∵|F₁O|=|PM|=c，|MN|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴P点的横坐标为-（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
把x=-$\frac{{b}^{2}}{c}$代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-4c²+4a²），
∴|OM|=$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$．
∵四边形F₁OMP是菱形，∴|OM|=|F₁O|，
即$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$=c．
整理得e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或e²=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．
（2）由（1）可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
代入点N（2，$\sqrt{3}$），可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得，a=$\sqrt{3}$，b=3，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评本题考查双曲线的离心率和方程，考查向量的共线和数量积的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．