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2024届河南省信阳高级中学高三高考模拟卷(十)数学试卷答案

20．已知函数f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+φ），且f（$\frac{1}{2}$）=1，k∈Z，求函数f（x）的最小正周期，并求f（$\frac{1}{2}$+6k）的值．

分析分别讨论1，2，…，2015为最小值和最大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值．

解答解：以1为最小值的集合有2²⁰¹⁴个，以2为最小值的集合有2²⁰¹³个，
…，以2015为最小值的有2⁰个，
则所有M的非空子集的最小值的和为1×2²⁰¹⁴+2×2²⁰¹³+…+2015×2⁰；
同理，所有M的非空子集的最大值的和为2015×2²⁰¹⁴+2014×2²⁰¹³+…+1×2⁰．
故所有这样的α_z的和为2016×（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2⁰）=2016×$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$=2016×（2²⁰¹⁵-1）．
则所有这样的α_z的算术平均值为$\frac{2016×（{2}^{2015}-1）}{{2}^{2015}-1}$=2016．
故答案为：2016．

点评本题考查n个数的均值的求法，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能力，属于中档题．