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江西省2024年三校生对口升学第三次联合考试试题数学试卷答案

6.如图所示,盘面上放有小物体(可视为质点)的圆盘在水平面内由静止开始绕过圆盘中心的轴转动,并逐渐增大圆盘转动的角速度,质量为0.2kg的小物体从圆盘的边缘飞出,不计空气阻力,飞出后经过0.2s落地,落地点与飞出点在地面投影点的距离为40cm。在此过程中,摩擦力对小物体所做的功为()A.0.4JB.0.6JC.0.8JD.1.2J

分析（1）求出导函数，推出g（x）的表达式，利用函数的奇偶性推出a，b的值即可．
（2）求出函数的极值点，利用函数的单调性，以及端点的函数值求出最值即可．

解答解：（1）由题意得f′（x）=3ax²+2x+b，∴g（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
又∵g（x）是奇函数，∴$\left\{\begin{array}{l}3a+1=0\\b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\b=0\end{array}\right.$，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²．…（6分）
（2）由（1）可知g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2x，∴g′（x）=-x²+2，令g′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
列表：
x（-∞，-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$，+∞）g′（x）-0+0-g（x）↘极小值-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$↗极大值$\frac{4\sqrt{2}}{3}$↘…（10分）
又g（1）=$\frac{5}{3}$＜g（$\sqrt{2}$），g（2）=$\frac{4}{3}$，
所以g（x）在区间[1，2]上的最大值为g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
最小值为g（2）=$\frac{4}{3}$．…（13分）

点评本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性的判断与应用，利用导数求解函数在闭区间上的最值，考查分析问题解决问题的能力．