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［临渭区三模］临渭区2024年高三质量检测试题数学试卷答案
19．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是斜率为k的直线上的两点，
求证：|P1P2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
分析根据△ABM是顶角为135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．
解答解：不妨取点M在第一象限，如右图：
设双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∵△ABM是顶角为135°的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，
∴点M的坐标为（（$\sqrt{2}$+1）a，$\sqrt{2}$a），
又∵点M在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上，
∴将M坐标代入坐标得$\frac{（\sqrt{2}+1）^2a^2}{a^2}$-$\frac{2a^2}{b^2}$=1，
整理上式得，a2=（1+$\sqrt{2}$）b2，而c2=a2+b2=（2+$\sqrt{2}$）b2，
∴e2=$\frac{c^2}{a^2}$=$\sqrt{2}$，因此e=$\root{4}{2}$，
故选D．
点评本题主要考查了双曲线的简单几何性质，灵活运用几何关系是解决本题的关键，属于中档题．
