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2023-2024学年度高三下学期自我提升二模测试数学试卷答案
20．在△ABC中，AC=7，∠B=$\frac{2π}{3}$，△ABC的面积S=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，则边AB的长为3或5．
分析以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
解答解：∵正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1的底面边长为2，
侧棱AA1=2，
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值，
∴以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意，A（0，0，0），B1（$\sqrt{3}$，1，2），
B（$\sqrt{3}$，1，0）C1（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-3+1+4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．
点评本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
