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山西省2023~2024学年度七年级下学期阶段评估(二) 7L R-SHX数学试卷答案

2.“物竞天择,适者生存”、动物在进化过程中形成了与环境相适应的体征.下列体中为了增大摩擦的是A.灵长类动物的掌绞和指纹B.泥身上的黏液C.哺乳动物关节腔内的滑液D.斑马身上的条纹

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由已知求出直线的斜率，由此能求出直线l的倾斜角α的值．

解答解：（1）∵$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$，∴$ρ=4（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）=2（cosθ+\sqrt{3}sinθ）$…（3分）
∴${ρ^2}=2（ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ）$，∴${x^2}+{y^2}=2x+2\sqrt{3}y$，
∴曲线C的直角坐标方程为${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．…（5分）
（2）当α=90⁰时，直线l：x=2，∴$|AB|=2\sqrt{3}≠\sqrt{13}$，∴α=90⁰舍  …（6分）
当α≠90⁰时，设tanα=k，则$l：y-\sqrt{3}=k（x-2），即kx-y-2k+\sqrt{3}=0$，
∴圆心$C（1，\sqrt{3}）$到直线$kx-y-2k+\sqrt{3}=0$的距离$d=\frac{{|k-\sqrt{3}-2k+\sqrt{3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$
由${d^2}+{（{\frac{|AB|}{2}}）^2}=4得：\frac{k^2}{{{k^2}+1}}+\frac{13}{4}=4，解得：k=±\sqrt{3}$，
∴$tanα=±\sqrt{3}$，∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$．…（10分）

点评本题考查曲线的直角坐标的求法，考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．