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2024年河南省普通高中招生考试试卷(A)数学试卷答案
14.计算下列各题:
(1)0.001${\;}^{-\frac{1}{3}}$-($\frac{7}{8}$)0+16${\;}^{\frac{3}{4}}$+($\sqrt{2}$•$\root{3}{3}$)6;
(2)log3$\sqrt{27}$+lg25+lg4+7log72+(-9.8)0.
分析(1)由题意,$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$,$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}$=1,求出a,b,即可求椭圆的方程;
(2)利用参数表示A,B的坐标,求出|AB|2=(2cosα+2sinα)2+($\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα)2=7+(4-$\sqrt{3}$)sin2α,即可求|AB|的最小值.
解答解:(1)由题意,$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$,$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}$=1,
∴a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
(2)设椭圆上动点的参数表达式A(2cosα,$\sqrt{3}$sinα),B(2cos(α+$\frac{π}{2}$),$\sqrt{3}$sin(α+$\frac{π}{2}$)),
也即A(2cosα,$\sqrt{3}$sinα),B(-2sinα,$\sqrt{3}$cosα),
于是|AB|2=(2cosα+2sinα)2+($\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα)2=7+(4-$\sqrt{3}$)sin2α,
故最小值为$\sqrt{3-\sqrt{3}}$.
点评本题考查椭圆方程,考查学生的计算能力,正确利用椭圆的参数方程是关键,属于中档题.