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2023-2024学年河南省三甲名校原创押题试卷(八)数学试卷答案

10.如图所示的水面上,以波源甲为坐标原点O建立平面直角坐标系,t=0时刻,波源甲以5Hz的频率上下振动,在水面上产生简谐横波,t1时刻,另一位于x=0.3m处的波源乙开始振动。t2时刻,两波分别到达图中虚线位置,此时x=0.1m处的质点恰好位于平衡位置且速度向下,已知两波源的起振方向、频率和振幅均相同,该水波的波速为0.5m/s,,振幅为2cm,不计传播过程中的能量损耗,下列说法正确的是A.两波源未同时起振,水面上也能形成稳定的干涉图样B.t1=0.4s,t2=0.6sC.两波源起振方向向上D.两波源振动较长时间后,它们之间的连线上有6个点始终不动

分析（Ⅰ）利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式将函数进行化简，利用条件建立方程关系求出a和ω即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{3}$，利用三角函数的诱导公式以及倍角公式即可求sin（4α-$\frac{π}{6}$）的值．

解答解：（Ⅰ）∵数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a=4cosωx•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）+a
=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx+a=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+a+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，
当x=0时，f（0）=1+a+1=a+2=1，即a=-1，
∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
∴函数的周期T=$\frac{π}{2}$×2=π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，
解得ω=1，
即f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{3}$，则2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{3}$，即sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（4α-$\frac{π}{6}$）=sin[2（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=-cos2（2α+$\frac{π}{6}$）=-1+2sin²（2α+$\frac{π}{6}$）=-1+2×$（\frac{2}{3}）^{2}$=-1+$\frac{8}{9}$=-$\frac{1}{9}$．

点评本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数值的化简和求值，利用三角函数的性质结合三角函数的辅助角公式是解决本题的关键．