2024年河南省普通高中招生考试·命题人卷数学

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试题答案

2024年河南省普通高中招生考试·命题人卷数学试卷答案

2.下列各式不成立的是(  )

A.$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$B.$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{0}$=$\overrightarrow{a}$C.$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$D.|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|

分析(1)由已知条件可得f′(x)=m+sinx≥0恒成立,利用正弦函数的值域即可解得实数m的最小值;
(2)通过对不等式的变形,转化为函数值恒非负问题,求出相应的导函数后,通过两次分类讨论,找出适合条件的参量范围.

解答解:(1)∵f(x)=mx-cosx,∴f′(x)=m+sinx,
∵y=f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,
∴f′(x)=m+sinx≥0恒成立,
∴m≥-sinx恒成立,∴m≥1,
∴实数m的最小值为1;
(2)∵m=1,
∴f(x)=x-cosx.
∵f(x)≥g(x),
∴x+sinx-axcosx≥0.
对于任意的x∈[0,$\frac{π}{2}$],令H(x)=x+sinx-axcosx,
则H'(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)
=1+(1-a)cosx+axsinx.
(1)°当1-a≥0,即0<a≤1时,H'(x)=1+(1-a)cosx+axsinx>0,
∴H(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上单调递增.
∴H(x)≥H(0)=0,符合题意,
∴0<a≤1.
(2)°当1-a<0,即a>1时,h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx,
h'(x)=(2a-1)sinx+axcosx,
∵a>1,
∴2a-1>0,
∴h'(x)≥0.
∴h(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上单调递增,
∴h(0)≤h(x)≤h($\frac{π}{2}$),
即2-a≤h(x)≤$\frac{π}{2}$a+1.
∴2-a≤H′(x)≤$\frac{π}{2}$a+1.
①当2-a≥0,即1<a≤2时,H'(x)≥0,
∴H(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上为单调增函数,
于是H(x)≥H(0)=0,符合题意.
∴1<a≤2.
②当2-a<0,即a>2时,
存在x0∈[0,$\frac{π}{2}$],使得当x∈(0,x0)时,有H'(x)<0,
此时H(x)在(0,x0)上为单调减函数,
从而H(x)<H(0)=0,不能使H(x)>0恒成立.
综上所述,实数a的取值范围为0<a≤2.

点评本题考查了导数和三角函数的知识,主要是运用导函数去判断函数的单调性,再利用单调性去研究问题.本题的方法明确,需要进行两次分类讨论,运算量较大,有难度,属于难题.

话题:
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