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江西省上饶市信州区2023-2024学年度第二学期七年级学业质量评价数学试卷答案

11.深海热液口温度较高,周围聚集大量的底栖无脊椎动物,可为化能合成细菌提供栖息环境和化能合成所需的各种组分,同时化能合成细菌所产生的有机物质能被无脊椎动物所利用。下列说法错误的是A.热液口的化能合成细菌细胞中可能存在耐高温的酶B.化能合成细菌与无脊椎动物的关系属于互利共生关系C.影响该群落结构的非生物因素主要有阳光、温度、无机盐等D.陆地上的有害物质也可能扩散到该热液生态系统中

分析先用柯西不等式得出ab+bc+ac≤$\frac{3}{2}$，再用基本不等式ab+bc+ac≥3$\root{3}{ab•bc•ac}$，得出abc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

解答证明：根据柯西不等式（n=3）得，
[（1+a²）+（1+b²）+（1+c²）]•（$\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{1+{b}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{1+{c}^{2}}$）≥（a+b+c）²，
即a²+b²+c²+3≥（a+b+c）²，
整理得，ab+bc+ac≤$\frac{3}{2}$，
再由基本不等式：ab+bc+ac≥3$\root{3}{ab•bc•ac}$，
两边立方得，a²b²c²≤$（\frac{ab+bc+ac}{3}）^3$≤$\frac{1}{8}$，
所以，abc≤$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即abc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，证毕．

点评本题主要考查了运用柯西不等式，基本不等式证明不等式，适当凑配和合理放缩是证明的关键，属于难题．